이분 탐색의 개념
이분 탐색이란?
이진 탐색(Binary Search)은 정렬된 배열에서 특정한 값을 효율적으로 찾는 탐색 알고리즘입니다. 이 알고리즘의 기본 원리는 탐색 범위를 반으로 줄여가며 데이터를 찾는 것이며, 이 과정을 반복함으로써 탐색의 효율성을 극대화합니다. 이진 탐색은 분할 정복(Divide and Conquer) 방식의 대표적인 예시로 볼 수 있습니다.
출처 : https://wikidocs.net/233716
이분탐색의 정의를 찾아보면 가장 중요한 것이 탐색할 배열이 정렬되어 있어야 한다는 것이다.
그래야 반씩 줄여나가면서 효율적으로 탐색을 할 수 있기 때문에!
시간복잡도와 효율성
N개의 데이터가 있을때 한번 비교할 때마다 절반씩 사라지기 때문에 최악의 경우에도 시간 복잡도는 O(logN)이 된다.
약 10억개 데이터를 비교해도 대충 30번 정도 비교한다는 것이기 때문에 알고리즘 문제 풀이시에 탐색해야할 범위가 너무 큰데? 싶으면 이분 탐색을 먼저 떠올리게 되는것 같다.
O(N) 탐색과 비교했을때 시간 부분에서 훨씬 빠르고
구현도 어렵지 않고 직관적이며
최솟값/최댓값 같은것을 찾을때나 특정 조건 찾기 같은 활용 방안으 무궁무진하다는 장점이 있다.
단, 정렬이 불가능하거나 동적 삽입/삭제가 잦을 경우에 사용하는 것은 비효율적이다.
이분탐색 구현하기
보통 내가 알고리즘에서 이분 탐색이 필요하면 다음과 같이 코드를 입력했다.
while(left < right) {
int mid = (left + right) / 2;
if(A[mid] <= target) {
left = mid + 1;
}
else {
right = mid;
}
}left와 right는 탐색할 범위의 양 끝단을 의미하고
mid의 경우 가운데 값을 의미한다.
위 코드에서는 target값보다 찾고자 하는 값이 작거나 같다면 left를 mid + 1로 변경한다.
즉 mid보다 작은 값은 더 볼 필요가 없다는 뜻.
target값 보다 mid가 크다면 반대로
mid보다 큰 값은 더 볼필요가 없기 때문에 rihgt를 mid로 바꿔서 줄여나가는 것이다.
기본 구현 방법은 이러한데
아무 생각 없이 알고리즘 문제들을 풀다보면 while문 조건에 <, <= 하나로도 답이 틀려버린다거나
mid와 target비교 과정에서도 등호하나로 답이 달라진다.
이래서 lowerBound와 upperBound의 개념을 제대로 정리할 필요성이 있다.
lowerBound & upperBound
개념
lowerBound : 찾고자 하는 값이 처음 등장하는 위치를 반환
예를 들어서 [-1, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3]이라는 배열이 있다고 해보자.
그렇다면 여기서 target값이 2라면? 2가 처음 등장하는 위치 index = 4가 되는 것이다.
upperBound : 찾고자 하는 값을 초과하는 값이 처음 등장하는 위치를 반환
그렇다면 위와 같은 배열에서 target이 마찬가지로 2라면?
2를 초과한 값이 처음 등장한 위치 즉 3이 처음 등장한 위치가 되겠는데 바로 7이 반환 될 것이다.
구현
lowerBound
int lowerBound(int[] arr, int left, int right, int target) {
while (left < right) {
int mid = (left + right) / 2;
if (arr[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid;
}
}
return left;
}여기서 arr은 [-1, 0, 1, 2, 2, 3, 6, 9]라고 가정해본다. target은 2라고 해보자.
그럼 left = 0, right = 8로 잡고 시작.
중간 위치는 (0 + 8) / 2로 4가 될 것이다.
자 그럼 arr[4] = 2로 벌써 target값을 찾아버렸다.
하지만 lowerBound는 뭐다? target이 처음 등장한 위치를 찾아야 하는 것.
arr[4]는 target보다 작지 않으므로 right = mid가 수행된다.
left = 0, right = 4상태가 되고 mid = 2. 여전히 left < right이므로 whilte문 계속 진행.
arr[2]는 1로 target값 보다 작으므로 left는 mid + 1 = 3으로 업데이트된다.
left = 3, right = 4, mid는 (3 + 4) / 2로 3이 되었다.
arr[3]은 2로 target과 일치한다. 따라서 right가 mid로 업데이트된다.
left = 3 right = 3으로 whilte문에서 탈출하게 된다.
이 결과 left가 3으로 끝나게 되었고, 2가 처음 등장한 위치가 맞는 index가 반환되는 것을 확인할 수 있다.
이 과정에서 arr[mid] >= target이라면 right = mid로 업데이트 되는 이유는?
arr[mid] == target인 경우에 해당 mid값이 정답 후보가 될 수 있기 때문이다.
upperBound
같은 배열을 가지고 upperBound를 구현한다면?
int upperBound(int[] arr, int left, int right, int target) {
while (left < right) {
int mid = (left + right) / 2;
if (arr[mid] <= target) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid;
}
}
return left;
}
처음 상태에서 arr[mid]가 2였을테니 target값과 일치하므로 위와 같은 상태가 된다.
여기서 mid는 target보다 큰 값이 되었으므로 right = mid로 업데이트가 된다.
이 경우에도 마찬가지로 arr[mid]는 target보다 큰 값이 되므로
right = mid가 수행될 것이다.
이렇게 되면 원하는대로 target값을 처음 초과하는 경우의 index인 5를 반환할 수 있게 된다.
lowerBound와 비교했을때 arr[mid] > target일때 right = mid로 업데이트가 된다.
초과해야하기 때문에 target보다 큰 상태인 mid가 정답 후보가 되기 때문이다.
개인적으로 생각했을 때 이분탐색에서 범위를 줄여나가는 과정에서 중요한 것은
정답 후보가 되는 값을 어떻게 포함시켜 나가며 범위를 줄이는가?가 핵심이라고 생각했다.
https://www.acmicpc.net/problem/3151
이 문제에 upperbound와 lowerbound를 모두 사용해서 문제를 풀어볼 수 있다.
사실 이 문제 풀다가 이 글을 적어야겠다고 생각했다.
응용 - 조건탐색 (Parametric Search)
개념을 알았으면 문제에 적용을 시킬 수 있어야 한다. 이분탐색 응용에 대해서 검색해보면 가장 많이 나오는 말이 바로 파라매틱 서치이다.
이진 탐색을 활용해 어떤 조건을 만족하는 최적의 값을 찾는 기법으로
단순히 값을 찾는 게 아니라, 조건을 만족하는 최솟값 또는 최댓값을 찾는 데 초점이 있는 유형이라고 한다.
최대/최소 길이 구하기
조건 만족하는 개수 찾기
구간 합/누적합 최적값
요런 유형들에서 사용 될 수 있다고 한다.
최대/최소 길이 구하기 문제로 가장 유명한 백준의 랜선 자르기
https://www.acmicpc.net/problem/1654
조건 만족하는 개수 찾기로는 이 문제가 생각났다.
https://www.acmicpc.net/problem/1300
일단 문제를 읽고 이분탐색이다 라는걸 떠올리는거 자체가 굉장히 어려웠던 기억이 있어서
이분탐색 응용 문제로 풀기 좋은 문제라는 생각
https://www.acmicpc.net/problem/2283
마지막으로 이 문제의 경우 단순 투포인터로도 풀 수 있긴하다. 시간이 오래걸리지만 아무튼 시간초과는 안난다.
하지만 누적합과 이분탐색을 조합한 형태로도 풀 수 있다고 해서 다시 풀어봤던 문제.
쨌든 이분탐색 정리한 내용을 까먹지말고
다양한 곳에 활용해볼 수 있도록 연습을 많이 해봐야겠다는 교훈으로 오늘의 공부 글 끝.